学生怎样重新发现一条定理
在数轴上从左到右依次取四个整点A, B, C, D，以它们为端点得到六条线段AB, AC, AD, BC, BD, CD。有人发现它们的长度能组成一个有趣恒等式。我们能重新发现吗？
作为一个实例，取四个整点A(-4),B(0),C(2),D(5)，这样一来，得到六条线段的长度分别是AB=4，AC=6, AD=9, BC=2, BD=5, CD=3。教师知道这六个长度必能按某种程式组成一个等式，使等式中每个长度出现且只出现一次。但学生无从知道。所以这项任务也只能由教师提出。
为了使学生理解问题，让学生回忆玩"24点"的经验是有效的。他们知道把5，5，5，1这四个数用四则运算符号联结起来怎样得到24：5×（5－1／5）＝24。这个经验就用来迁移到处理4，6，9，2，5，3这六个长度上来。
以下是七年级学生从这组具体数据当堂给出的各种猜想：
4 + 6 + 5 + 3 = 9×2，
即AB+AC+BD+CB=AD×AC。
4 + 6－9 + 5 = 2×3，
即AB+AC－AD+BD=BC×CD。
2×3×9 = (4+5)×6，
即BC×CD×AD=(AB+BD)×AC。 。
4×9 = 5×6 + 2×3 即AB×AD=BD×AC+BC×CD。
6×5 = 2×9 + 3×4，即AC×BD=BC×AD+AB×CD。
不妨假设所用的长度单位是厘米，请同学们标注到各组数字等式里，由于等式两边的单位不一致，前三种猜想立即被否决了。
剩下的两个猜想
4×9 = 5×6 + 2×3
6×5 = 2×9 + 3×4
则被要求大家分别改变四点相对位置后再经受检验，前面一个猜想经不住检验，又被放弃了。
最后剩下一个6×5 ＝ 2×9 + 3×4，即AC×BD＝BC×AD+AB×CD，又经受了不同数据的考验，而且从图上看到了某种对称性，给我们以美的感觉。
教师指出，这个式子的成立有了几十条新的证据，通过了大家的验证，坚定了我们对它的信心。虽然从猜想到通过反复的验证是一大进步，但无法知道这个式子对尚未试验过的新数据也能成立。
一维解析几何
为了使第五式BC×AD＋AB×CD＝AC×BD的成立不依赖具体数据，一般地设A(a), B(b), C(c), D(d)，这又是一个飞跃，至此只要证明
(b－a)(d－c) + (d－a)(c－b) = (c－a)(d－b)就可以了。
走到这一步，遇到了拦路虎。因为在上述证明中需要的乘法法则七年级学生还没有学习过，这里又一次需要"逢山开路，遇水搭桥"。
调动学生既有的经验――乘法分配律，x(c＋d)＝xc＋xd，为了计算(a+b)(c+d)，在此式中把(a+b)当作x，从而算出(a+b)(c+d)=(a+b)c + (a+b)d =ac+bc+ad+bd，这应当是学生在他们的最邻近发展区里的工作。
另一条途径是借鉴竖式乘法的原理：
28×75=28×(70+5)=1960+140=2100
28×75=(20+8)×(70+5)=1400+560+100+40=2100。
理论上的困难克服了，下面就可以着手证明
(b－a)(d－c) + (d－a)(c－b) = (c－a)(d－b)。
证：左边＝bd－ad－bc+ac+cd－ac－bd+ab＝cd－ad－bc+ab
右边＝cd－ad－bc+ab。
于是左边＝右边。
上述证明过程用的是坐标法，即通过建立坐标系，确定有关点的坐标并利用坐标研究几何图形的方法。按数学教学大纲，坐标法证明要到高二年级才出现。
注意，如果引进有向线段，那么对直线上任意A,B,C,D四点，这四点不一定从左到右依次排列，都有 AB×CD＋BC×AD＝AC×BD 。
这样一来，上述第五式终于成为一条定理。从尝试、猜想到验证，最后是证明，这是发现数学定理的几个步骤。在课堂上我们把这个等式叫做Euler－刘迪定理。Euler是伟大的瑞士数学家，刘迪不过是我们一位七年级学生而已，第五式作为猜想正是他提供的。他再次发现了一维世界里一条非常美丽的Euler定理，因此我们给他以发现者的荣耀。
在教师指导下，学生经过这一过程而实现了对一条几何定理的"再创造"。当代伟大的荷兰数学教育家Freudenthal反复强调，实现"再创造"是学习数学的唯一正确方法。
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