一个点的丰富内容
在七年级学生的头脑里，"形"与"数"这两个概念的发育是很不完善的。且不说要放到几何中系统学习的"形"，就以数来说，学生知道有理数是整数和分数的统称，并不等于学生了解了小数和有理数。根据学生的经验，似乎任何小数都可以化为分数，这却是一种误解。
"无理数"概念的建立，源自对"小数"的深入研究。从知识网络的一个节点"有理数"通向另一个节点"实数"，需要的是众多知识的联系以及将它们组合在一起的能力。这个实例本身就是进行知识建构微观研究的好材料。
"形" 与"数"是数学网络中两大节点。我们不能被 "节点" 的"点"所迷惑，以为它不可再分析。一个节点的内容要在与其他节点的关系中展现出来，这可能是另一条更普遍的原理的特例。为了说明这一层意思，我们举"人"为例：放在社会中考察，人就是一个"点"。然而马克思在《费尔巴哈论纲》中说："人的本质不是个人所固有的抽象物，就其现实性说来，乃是一切社会关系的总和。"非标准分析也告诉我们，一个点有极为丰富的潜在内容。以对"地球"的认识为例，在开普勒的行星运动三大定律的背景中，地球被当作一个质点，而对生活于地球上的人来说，地球本身是一个巨大而复杂的系统，是悠久的地质史、生命史和文明史的独特载体。
发现无理数
以七年级学生的知识结构，引进"无理数"概念的途径不止一条。最直截了当的办法是把整数与分数和归结为有限小数和循环小数。如果学生对"为什么必定循环"有问题，只要通过小组共同研究，观察竖式除法的余数便可领悟。
有理数实在是一类非常特殊的小数。为了看出这一点，我们用掷有十个面的"骰子"的办法来作一个纯小数。"骰子"的十个面分别标有0，1，2，...，8，9这十个数字。我们把第一次掷的结果作为小数的十分位，第二次掷的结果作为百分位，如此等等，一直要掷无穷次才能得到一个小数。显然要掷出一个有理数是十分稀奇的事。
但我们轻而易举就能写出无限不循环小数。既然它们不是有理数。那就只好归入新的类别――无理数――了。不难理解，它们同样有资格安放在数轴上。于是数轴总算住满了。
可能会令学生大吃一惊，无理数要比有理数多得多。即使一秒钟能掷出无限次骰子从而作出一个小数，我们一辈子也掷不出一个有理数，要掷出有理数的条件实在太苛刻了。这说明，如果数轴上仅仅住着所有有理数，即使是那么密密麻麻，空出的位置还是要比被占据的位置多出无数倍。
一维世界里的天外来客
直接立足于数轴讨论无理数的存在性是另一条途径。
迄今我们已把我们所知道的所有（有理）数放到了数轴上，有理数在数轴上排得如此稠密，以致任何两点之间都能再安插一个点。但是有理数（即整数与分数）把数轴占满了吗？
这个问题人类花了几百年才解决。人们发现，数轴上排满了有理数，但仍有无数空洞。好奇的古希腊人在数轴上以线段[0,1]为底边作正方形，以O为圆心，过 O 点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。他们想决定D点表示的数是几？
估计这个数大约等于1.4。如果把单位放大，可以知道这个数比1.4略大。那么它到底等于几呢？它是单位正方形对角线OB的长度，我们设它为x。
很容易作出以这条对角线为一边的正方形，学生不难确定它的面积为2。由正方形面积公式，x的平方等于2。这样我们就可以用计算器确定x更精确的值：
x＝1.414213562373095048801688724209...
至今我们看不出这个小数有任何循环的迹象，它很可能不是有理数。数学家把这个数叫做根号2，记为√2，意思是"平方等于2的那个正数"。（教师这时让学生熟悉一下：√0等于几?√81呢?√289 呢?）
归谬法
古希腊人吃惊地发现，√2不是有理数。首先，它显然不是整数，它也不是分数。古希腊人证明，任何分数的平方都不可能等于2。证明的思想很巧妙，叫做"归谬法"。假设分数p/q的平方为2就会推出荒谬的结果。在课堂上可以重现这个经典过程（此处略）。能理解这个过程的同学，我们为他感到骄傲。（注意，这是一种观察法的学习。）
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