淡然一笑

一堂立体几何课的听课注记

                                      

      笔者是个拖沓随意的人，做什么事都不很专心，无意研究教学艺术，所以不喜欢听课。前些时间应邀到华东师大在外省的一个教学基地评课，当地有两所高中的数学教研组来听"外来和尚"怎么念经，兹事体大，狗急跳墙，不得不振作精神边听边想，果然也有所得。
      课后在会议室谈了一阵子想法之余，本来应当及时将心得写下的，却一直拖到现在，发现当时的灵感多已渺不可寻，只剩下些骨架，只能写份注记了。
      在正文开始前，首先要申明，这位老师的功底很深，课上得不错，本文所讨论的问题与他没有多大关系，无非是借题发挥而已。
                         一、高级的教育目标体现在哪里？
      这节立体几何课上的是"直线和平面平行的判定"，笔者因目力不济，听课常常只能以耳代目，不求甚解。这次不能听过算数，所以事先要了一份教案复印件，对照着看。只见执教者提出的教学要求是
      1.了解直线和平面的三种位置关系，能正确运用三种语言表达；
      2.掌握直线和平面平行的判定定理，并能证明；
      3.会运用判定定理解决问题。
    10位教师写公开课教案，写到"教学要求"，总是如出一辙：几乎就是教学参考书的同一版本。听课者对此也往往放过不评，现在是写听课注记，就有所悟了。
      原来按照[美]布鲁姆等人撰写的《教育目标分类学》，教育目标从低到高分六级（识记，领会，应用，分析，综合，评价），目前高中数学课的教学目标往往只写到前三级，偶尔出现"培养培养分析问题的能力"、"培养综合应用的能力"的字样，至于"评价"二字的出现的概率几乎是零，凡此种种，与真正"分析、综合、评价"目标相去甚远。日积月累的结果，中国的孩子的分析能力、综合能力与评价能力之弱可想而知。以前模糊地觉得发达国家的教学风格与我们差异很大，如果能从教育目标分类的层面来分析，或许会给我们更多启示吧？
      在上列"教学要求"中一系列"了解"、"运用"、"掌握"的背后，其实隐藏着许多能力有待我们去培养。 
                               二、学习动机的缺乏
      先看"教学要求"的第一点--了解直线和平面的三种位置关系。
      一般我们假设，学生是没有任何准备来上这节课的，他们甚至不知道这节课将学什么，因此其学习动机是可疑的，没有一种对追求真理的渴望。以前我们都把上新课理解为学习新知识，于是产生"满堂灌"和"启发式"等不同学习模式；今天我们更强调是研究并解决新问题，"满堂灌"便不合时宜了（我一点也没有说执教者在满堂灌的意思）。
      提出问题比解决问题更重要，而教材对问题的提出总是一笔带过，例如上海市用了好几年的立体几何教材新的大节"直线与平面"是承接上节"异面直线"展开的，但并不指明现在要展开的对线面关系的研究与前面线线关系研究之间的关连，这些都留给教师，而教师对教材表示沉默的内容是否会主动揭示，要看各人功底和认识。我所听的那节课的执教者是高明的，别人就不敢保证了。而对这种关连引导的长期缺失会严重阻碍学生思维品质的提升。
      事实上，新内容是老内容逻辑发展的结果。学习"直线和平面的位置关系"自有其必然性，如果在这几节课以前教师已使学生形成了下面的宏观认识的话，相信学生对立体几何的把握会清楚得多。
      我的意思是，在立几开头提到点面关系时学生就已经把握下面一个关系矩阵（纵横表），只要观察主对角线及其上方的六项关系即可。

立几三大元素之间的位置关系问题

从上表可见，矩阵中的元素（1，1）[两点之间的关系]、元素（1，2）[点与直线的关系]是平面几何的内容，学生在初中时代已经学过。元素（1，3）[点与平面的关系]只有"点在平面内"和"点在平面外"两种，在立几第一节课学生就已知道，而上一节课学的就是元素（2，2）--两条直线的位置关系。作为一个科学系统，留待解决的任务是元素（2，3）和（3，3）。研究（2，3）是这节课的任务，（3，3）则留待以后。

    单就（2，3）来说，首先面对下面这个问题：线面位置关系的分类问题。

三、新课整装待发

      直线与平面的三种位置关系怎样引出呢？

      从逻辑的角度，教师先布置学生回想这节课前已掌握的空间两条直线的位置关系。我们讲到，这种处理是高明的。

      通过上阶段的学习，学生应当明了：在平面几何中就学过两条直线的位置关系：相交与平行。为什么到了立体几何还要再提呢？

      原来在平面几何中是约定在同一平面内讨论两条直线的位置关系的，现在这两条直线可能不在平面内了，所以再加一种两条直线不在同一平面内的情况就可以了。

      于是很自然地形成分类的第一种标准，即两条直线是否在同一平面内。在共面的情况下，已细分为相交与平行两种，为什么在不共面的情况下只有一种呢？原来细分又引进了新标准，即交点个数。两条直线的公共点，要么是0个，要么是1个，如果两条直线有了两个公共点，那就是同一直线了。而在立几里，重合的两条直线被当做一条直线来看的。于是不共面的两条直线的公共点也只有0个和1个两种，而1个公共点意味着相交，不可能，所以只有0个交点这一种了（本段的讨论如果能在课堂里展开，学生就可以学到比单纯的立几教学更多的东西，可惜一般可能会被忽略）。

      由此形成分类的第二种标准，即按交点个数分类：0个交点：平行或异面；1个交点：相交。

      我们把数学内涵抽象掉，这里有一种分类思想：按不同标准，分类是不同的。

四、走进新课的两条路径：承袭和实验

      从研究性学习的角度来看，要研究线面关系，有两个出发点，一是在逻辑上承上启下，通过复习引导学生走进维果茨基的最邻近发展区，把线线关系的两种分类思想迁移到解决新问题上来。二是通过模型形成概念，这两者应当结合起来，而且有先后之分。

      以前常提"启发式教学"，强调的常常是教师的发问艺术，这种理解很狭窄。在我们要讨论的这节课上，启发式首先表现为"线线关系"的内容对学习"线面关系"的启发：

      关于线面关系，有没有像线线关系中那样已出现在平面几何里的情况？有的，在平面几何里自明的情况，就是直线在平面内。除此之外就是直线不在平面内了。所以按此分类标准，线面关系只有两大类，然后参照线线关系处理过的交点个数，直线在平面内是由公理"一条直线有两个点在平面内，这条直线上的点就都在平面内"，因此直线上所有的点都是直线与平面的公共点，公共点数有无数个；而直线不在平面内就只能有0个公共点与1个公共点这两种情况了。至于这两种情况是否都存在，就要通过实证了。

      从使用模型的角度看，教师一般会随机地要求学生观察教室里的日光灯、门窗，当然都很好，但为了集中思维，最好还是拿手里的笔当作直线，桌上的纸面当作平面。我们甚至可以称之为立几中的"纸－笔模型"。

      学生将笔搁在纸上、平移到空中、用笔尖点纸，同时观察公共点数，理论分析的三种情况都全了，然后让他们说出来，画出来，用符号表示出来。这已经进入学习三种语言的过程了。

      直线与平面位置关系可用三种语言表达：文字语言、符号语言与图形语言。

1. 直线在平面内用符号语言表示为α?α（"？"字符特殊，博客文件打不出，识者自明，下同）

2. 直线与平面相交用符号语言表示为α∩α=A

3. 直线与平面平行用符号语言表示为α∥α。

      注意，α?α用的是集合论语言，α∩α=A也是，但已不规范，严格说来，应当写成α∩α={A}。把{A}写成A，是为节省时间。至于α∥α，已不是集合论语言了。

五、线面平行的判定定理的形成及其证明中的两个重要思想

      用线面平行的定义，即用直线和平面没有公共点来判定线面平行往往不实用，因此需要把线面平行的判定化归到我们所熟悉的领域，具体说来就是化归到线线平行。这个思想是新的，学生难以自发产生，这时教师的指导功能就体现出来了。问题在于以后遇到类似情况要举一反三，不能每次都依赖教师。

      我听的那节课，执教者扶着教室门边框转动门面，学生看到门边总是平行于门与墙壁的交线，也可以把书摊平，然后掀起封面，无论封面翻动多大角度，它的上边缘总是平行于封面与书本所在平面的交线。于是很有可能存在这样一条线面平行的判定定理："如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。"

      已知：如图，α不含于α，b?α，α∥b，求证：α∥α。

      这条定理的证明对学生来说是困难的。需要调动以前行之有效的几条途径。

      1.这是进入线面关系后的第一条定理，无所依傍，难以靠其他定理用直接法推证，因此可以考虑反证法--假设直线α不平行于平面α，也就是假设α与平面α相交于一点P；

      2.不但判定定理的提出需要运用化归思想，证明同样需要运用化归思想。也就是为了证明线面平行，须借助于线线平行。

有了这两个提示，证明呼之欲出。

      怎样借助线线平行呢？一是我们已经看到现成的α∥b，那么过这两条直线就可以确定平面β，因为平面α与β的交线就是b，平面β内的直线α与α的交点P必在直线b上，这个推论与α∥b矛盾。

      借助线线平行的第二条途径是过P点作直线c与直线b平行，这样一来，过P点就有了两条直线α与c都平行于b，推出矛盾，所以假设不成立。

【作者: 刘定一】【访问统计:】【2005年01月11日 星期二 17:29】【注册】【打印】